Distribuya los números del 1 al 13 en la figura adjunta, de modo que la suma en cada columna A, B, C y la fila D sea siempre la misma.



¿Cuál es el valor mínimo de dicha suma?

Solución:

Se sabe que la suma en cada cada recta de secuencia de cuadros (A, B, C y D) es la misma. Si asumimos que tal suma es S, tendremos:

Suma en la columna A: ΣA = S
Suma en la columna B: ΣB = S
Suma en la columna C: ΣC = S
Suma en la fila D: ΣD = S

Si quisiéramos «sumar estas sumas» notaríamos que ciertos números se repiten. Démosle valor a estas cifras:


Sumemos:

ΣA + ΣB + ΣC + ΣD = 1+2+3+...+x+y+z+...+13+x+y+z

* Note que 1+2+3+...+x+y+z+...+13 es la suma del 1 al 13. Recuerde que la sumatoria de números naturales (que empiecen de 1) es (n)(n+1)/2, donde n es el último término.

Entonces:

4S = (13·14)/2 + (x+y+z)

4S - (x+y+z) = 91

4S = 91 + (x+y+z)

Como buscamos el valor mínimo de S, se admite que:

4S > 91

S > 22,75

⇒ S = {23, 24, 25...}

A partir de este momento sólo queda contrastar:

Para S igual a 23:


* Esto es ilógico, pues x, y ó z toman un valor igual o mayor a uno, o menor o igual a 13; además, son diferentes.

Para S igual a 24:


* Si tomamos los valores menores, resultaría: x=1, y=2, z=3. Sin importar el orden, la suma sería 6. Este evento lo descartamos.

Para S igual a 25:


* ¿Qué valores pueden tomar x, y, z? Uno de ellos puede ser: x=1, y=2, z=6; otro: x=2, y=3, z=4. Encaja perfectamente.

Por lo tanto, para que S sea mínimo tendría que ser su valor igual a 25.