Se deben distribuir, en cada círculo de la figura, los números del 1 al 9:


En tal reparto de cifras, tenga cuidado que la suma en cualquier terna de números (dos ubicados de modo opuesto y uno en el centro) sea siempre la misma; es decir, cada grupo de 3 números (según el orden fijado) deben sumar lo mismo en cualquier caso.

¿Cuál es la suma de los números que podrían ser ubicados en el centro?

Solución:

Si llamamos S a la suma de los tres números (uno al centro y dos frente a frente), tendríamos cuatro grupos con esta característica en común; es decir, cuatro sumas iguales.

Precisamente son nueve los lugares en donde distribuir los números del 1 al 9 (es imposible repetir cualquiera de ellos). Si no tuviéramos la pauta sugerida, serían miles las posibilidades de repartir dichas cifras. Sin embargo, si las sumas deben ser iguales, dichas posibilidades se reducen drásticamente.

Llamemos x al número del centro y observe cuáles son esas sumas idénticas:


Si sumamos las cuatro ternas tendríamos la suma de los nueve números con la particularidad de que sólo x se repite cuatro veces. Esto es:

4S = (1+2+3+...+x+...+9) + 3x

Note que dentro del paréntesis esta la representación de la suma de los primeros nueve números naturales, incluyendo x (considérelo una mera representación, ya que x bien puede tomar el valor de 1 ó 2 ó 3 ó 9).

Ahora bien, si x se repite cuatro veces ¿por qué se coloca 3x? Esto se debe a que x ya está contabilizado en la suma dentro del paréntesis.

Continuando:

4S = (9×10)/2 + 3x

* Recuerde que la sumatoria de números naturales (que empiecen de 1) es (n)(n+1)/2, donde n es el último término.

4S = 45 + 3x

Claramente se deduce que «4S + 3x» es múltiplo de 4.

⇒ 4S = {48, 52, 56... }

Reemplacemos y verifiquemos:

* Para 4S = 48:

⇒ x=1 ⋀ S=13. Con x en el centro, las ternas son: {1, 3, 9}, {1, 4, 8} y {1, 5, 7}.

* Para 4S = 52:

En este caso, x no es un número natural.

* Para 4S = 56:

En este caso, x no es un número natural.

* Para 4S = 60:

⇒ x=5 ⋀ S=15. Con x en el centro, las ternas son: {5, 9, 1}, {5, 8, 2}, {5, 7, 3} y {5, 6, 4}.

* Para 4S = 64:

En este caso, x no es un número natural.

* Para 4S = 68:

En este caso, x no es un número natural.

* Para 4S = 72:

⇒ x=9 ⋀ S=18. Con x en el centro, las ternas son: {9, 8, 1}, {9, 7, 2}, {9, 6, 3} y {9, 5, 4}.

Aquí nos detenemos, ya que en la distribución se incluyen números hasta el 9.

En realidad, no nos interesan las ternas que se pueden formar con x en el centro, sino qué valores puede tomar éste. Si continuásemos, comprobaremos que x es entero hasta 4S = 84. En este caso, x sería igual a 13.

Por lo tanto, los valores de x son {1, 5, 9}. La suma de estas cifras es 15.